本記事では、マクロ経済学における集計的生産関数の問題を解説します。具体的な例を使って、どのように解答を導き出すかをステップバイステップで解説していきます。
1. 集計的生産関数の理解
まず、問題文に出てくる集計的生産関数を確認しましょう。生産関数は以下のように与えられています。
Y = A * K^(1/3) * (H * L)^(2/3)
ここで、Y は実質 GDP、A は技術水準、K は資本、H は労働者の教育水準、L は労働者数です。この式を使って、与えられた値から各問題を解いていきます。
2. 問題 1: Y の計算
問題1では、A=10、K=1、L=8、H=1 のときに Y を求めます。
Y = 10 * 1^(1/3) * (1 * 8)^(2/3)
この式に代入して計算すると、
Y = 10 * 1 * 8^(2/3)
8^(2/3) は約 4 として、最終的に Y = 40 となります。
3. 問題 2: 労働者一人当たりの GDP
次に、問題2では、1）で求めた Y を使って、労働者一人当たりの GDP を求めます。
労働者一人当たりの GDP は、Y を L で割ることで求められます。
労働者一人当たりの GDP = Y / L = 40 / 8 = 5
したがって、労働者一人当たりの GDP は 5 となります。
4. 問題 3: 資本、労働者数、技術水準の2倍増加
問題3では、A、K、L が 2 倍に増えたとき、Y が何倍になるかを求めます。
生産関数に代入して計算すると、
新しい Y = A * (2K)^(1/3) * (H * 2L)^(2/3)
これを計算すると、Y は元の 4 倍になることがわかります。
5. 問題 4: 労働者一人当たりの GDP の変化
問題4では、問題3で得られた Y に基づき、労働者一人当たりの GDP が何倍になるかを求めます。
労働者一人当たりの GDP は、Y を L で割ることで求められますが、L も 2 倍になるので、最終的に労働者一人当たりの GDP は 2 倍になります。
6. 問題 5: A、K、H の 2 倍増加
問題5では、A、K、H が 2 倍に増えたとき、Y は何倍になるかを求めます。
ここでも同様に生産関数に代入して計算すると、Y は 4 倍になることがわかります。
7. 問題 6: 労働者一人当たりの GDP の変化
問題6では、問題5の結果をもとに、労働者一人当たりの GDP の変化を求めます。
この場合、労働者一人当たりの GDP は 4 倍に増加します。
8. 問題 7: A、K が 2 倍、L が 4 倍
問題7では、A、K が 2 倍、L が 4 倍に増えたとき、Y は何倍になるかを求めます。
生産関数に代入して計算すると、Y は約 6.3 倍になることがわかります。
9. 問題 8: 労働者一人当たりの GDP の変化
問題8では、問題7の結果をもとに、労働者一人当たりの GDP が何倍になるかを求めます。
労働者一人当たりの GDP は約 1.6 倍に増加します。
10. まとめ
本記事では、集計的生産関数を使用したマクロ経済学の問題を解説しました。各ステップを順を追って計算することで、技術水準、資本、労働者数の変化が経済にどのように影響を与えるかを理解することができます。生産関数を使って、経済の成長や労働者一人当たりの GDP の変化を分析することは、経済学の基礎的なスキルの一つです。
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