コブ＝ダグラス型生産関数の一次同次性と導出過程：Lで割るとどうなるか？

経済、景気

2025.10.25

コブ＝ダグラス型生産関数Y=A・K^α・L^(1-α)に関する質問です。具体的には、Lで割るとどのように変形されるのか、そして一次同次性がある場合にどのように扱うべきかについて解説します。

1. コブ＝ダグラス型生産関数とは？

コブ＝ダグラス型生産関数は、経済学でよく使われるモデルで、生産の要素である資本（K）と労働（L）の投入量を使って総生産（Y）を表します。具体的には、Y=A・K^α・L^(1-α)と表され、Aは技術水準、αは資本分配率を示します。

この生産関数の特徴の1つは、一次同次性を持つことです。一次同次性とは、すべての投入要素を同じ割合で増加させると、出力も同じ割合で増加するという性質です。

質問にある通り、L（労働）で割ると、YをLで割った形となり、次のように表されます。

y = Y / L = A・(K / L)^α = A・k^α

ここで、yは1単位あたりの生産、kは資本投入量（K）を労働投入量（L）で割ったものです。この式により、1単位あたりの生産量が表現されます。

質問では、「Lで割るとL^2になるのでは？」という点についてですが、Lで割った場合、左辺のYはLで割られ、右辺のLは消えます。したがって、L^2で割る必要はありません。

一次同次性とは、生産関数の特性の1つで、すべての生産要素（資本Kと労働L）を同じ割合で増加させると、生産量Yも同じ割合で増加する性質です。この性質は、生産関数が「同次」であることを意味し、αと(1-α)が合計で1となることで確保されます。

したがって、Lで割った場合でも、一次同次性は保たれます。この場合、y = A・k^αの式は、1単位あたりの生産量を示すとともに、一次同次性の特性を反映した式となります。

コブ＝ダグラス型生産関数において、Lで割ると、1単位あたりの生産量y = A・k^αとなり、一次同次性は失われません。一次同次性を考慮しても、Lで割ることによって正しい形になります。この方法は経済学における生産関数の基本的な性質を理解するために重要です。

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