経済学の基本的なテーマの一つである「利潤最大化」の問題を解くために、コブ・ダグラス型生産関数を用いた方法を紹介します。この生産関数を使って、最適な財の投入量や生産量を求める方法について解説します。
コブ・ダグラス型生産関数とは？
コブ・ダグラス型生産関数は、以下のように表されます。
z = x^α * y^β
ここで、zは生産物、xとyは投入する2種類の財、αとβは正の定数です。この関数の特徴は、投入財の量に対して、一定の弾力性を持った生産量を生成する点です。
利潤最大化のための最適解
企業は利潤を最大化したいと考えるため、まずはその費用を考えます。費用は、投入する財の価格（qとr）とその投入量（xとy）に基づいて次のように計算できます。
C = qx + ry
企業の目標は、利益を最大化することです。利益は、売上高から費用を引いたものになります。売上高は、生産物の価格（p）と生産量（z）によって決まります。
π = p * z – (qx + ry)
最適解の導出
利潤を最大化するためには、上記の利潤関数πを最大化するxとyを求める必要があります。まず、利潤関数をxとyについて微分し、それぞれの偏微分係数をゼロにして解くことで最適な投入量を求めます。
以下のように微分し、最適解を求めることができます。
∂π/∂x = p * α * x^(α-1) * y^β – q = 0
∂π/∂y = p * β * x^α * y^(β-1) – r = 0
これらの方程式を解くことで、最適な投入量x*とy*が求まります。具体的な解法を適用すると、以下のように最適投入量が求められます。
x* = (α * p / q) * (y*)
y* = (β * p / r) * (x*)
最適生産量z*の求め方
最適なx*とy*が求まったら、それらを使って最適な生産量z*を求めることができます。生産量は、生産関数に最適なx*とy*を代入することで求められます。
z* = (x*)^α * (y*)^β
まとめ
コブ・ダグラス型生産関数を使った利潤最大化問題では、最適な投入量と生産量を求めることができます。この方法を使って、企業は効率的な生産を行い、利潤を最大化することが可能です。実際に解く際には、具体的な数値を使って計算することで、より深い理解が得られます。
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